Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，其棱長為1，則列命題中正確命題的個數為（　�。�
（1）A₁C₁和AD₁所成角為

π

3

（2）B₁到截面A₁C₁D的距離為

2 3

3

（3）正方體的內切球與外接球的半徑比為1：

2

．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：球內接多面體,棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）首先，連結AC、CD₁、AD₁，則∠CAD₁就是A₁C₁和AD₁所成角，然后求解即可；
（2）可以利用等積法求解其高；
（3）正方體的內切球半徑就是棱長的一半，外接球的直徑就是正方體的體對角線．

解答： 解：對于（1）如圖

連結AC、CD₁、AD₁，
則∠CAD₁就是A₁C₁和AD₁所成角，
在等邊△ACD₁中，
∴∠CAD₁=

π

3

，故（1）正確；
對于（2）如圖：

V_{三棱錐B1-A1C1D}=V_{三棱錐D-A1B1C1}，
即

1

3

S_△A1C1D×h=

1

3

S_△A1B1C1×a，
∴h=

3

3

．
故（2）錯誤；
對于（3）：
設正方體的棱長為2a，
則正方體的內切球半徑就是棱長的一半，
即r=a，
外接球的直徑就是正方體的體對角線，即
R=

3

a，
∴r：R=1：

3

，
故（3）錯誤，
綜上，只有（1）正確；
故選：B．

點評：本題重點考查了正方體中的邊角關系、線線平行、體積公式等知識，屬于中檔題．解題關鍵是正確添加輔助線和等積法在求解距離中的靈活運用．