Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A、[0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、[-3，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：函數(shù)f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定義域（x＞0）內(nèi)是增函數(shù)．即f′（x）=mx+

1

x

-2≥0對于任意x＞0恒成立，即m≥

2

x

-

1

x2

對于任意x＞0恒成立，即m≥（

2

x

-

1

x2

）_max．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

2

mx²+lnx-2x在定義域（x＞0）內(nèi)是增函數(shù)，
∴f′（x）=mx+

1

x

-2≥0對于任意x＞0恒成立，
即m≥

2

x

-

1

x2

對于任意x＞0恒成立，
即m≥（

2

x

-

1

x2

）_max．
令g（x）=

2

x

-

1

x2

，
則g′（x）=-

2

x2

+

2

x3

=-

2(x-1)

x3

，
解g′（x）＞0，得0＜x＜1；
解g′（x）＜0，得x＞1．
因此當x=1時，g（x）取得最大值，g（1）=1．
∴m≥1．
故實數(shù)m的取值范圍為[1，+∞）．
故選：D

點評：正確吧問題等價轉化、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值是解題的關鍵．