Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+1$．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心；
（II）設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$c=\sqrt{3}，f（C）=3$，若向量$\overrightarrow m=（sinA，-1）$與向量$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心即可．
（II）根據(jù)f（C）=3，求出C角大�。幌蛄�$\overrightarrow m=（sinA，-1）$與向量$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，建立關(guān)系，求出角A，B的關(guān)系，利用余弦定理即可求出a，b的值．

解答 解：（I）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+1$．
化簡可得：$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈z$．
∵對稱中心橫坐標(biāo)：$2x+\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，
∴$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴對稱中心：$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，2）$，k∈Z．
（II）由題意可知，$f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）+2=3$，
∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴$2C+\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$或$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
即C=0（舍）或$C=\frac{π}{3}$．
又∵$\overrightarrow m=（sinA，-1）$與$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，
∴2sinA-sinB=0，即2a=b…①．
由余弦定理：
${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}={a^2}+{b^2}-ab=3$…②．
由①②解得，a=1，b=2．
故得a的值為1，b的值為2．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及向量的垂直的坐標(biāo)計算和余弦定理的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．