Question

17．已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中點，將△BAE沿AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F(xiàn)為B₁D的中點．
（1）證明：B₁E∥面ACF；
（2）求四棱錐B₁-AECD的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)ED交AC于O，連結(jié)OF，證明FO∥B₁E，然后證明B₁E∥面ACF．
（2）取AE的中點M，連結(jié)B₁M，說明△ABE為等邊三角形，說明B₁M⊥面AECD，然后求解幾何體的體積．

解答 解：（1）證明：連結(jié)ED交AC于O，連結(jié)OF，因為AECD為菱形，OE=OD，∴FO∥B₁E，∴B₁E∥面ACF．
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（2）取AE的中點M，連結(jié)B₁M，因為$BA=AD=DC=\frac{1}{2}BC=a，△ABE$為等邊三角形，則${B_1}M=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，又因為面B₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，所以$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×a×a×sin\frac{π}{3}=\frac{a^2}{4}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．