Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，且a₁，a₂-1，a₃-1是等比數(shù)列{b_n}的前三項．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式
（2）求數(shù)列{a_n-b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）依題意，可求得等差數(shù)列{a_n}的公差d和等比數(shù)列{b_n}的公比q的值，繼而可求得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）由（1）可求得a_n=2n-1，b_n=2^n-1，利用分組求和法可求數(shù)列{a_n-b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，
且a₁，a₂-1，a₃-1是等比數(shù)列{b_n}的前三項，
∴（1+d-1）²=1×（1+2d-1），
∴d=0（舍，否則等比數(shù)列{b_n}的第二項a₂-1=0）或d=2．
a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{1}}$=2，又b₁=a₁=1，
∴b_n=2^n-1；
（2）∵T_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=（1+3+5+…+2n-1）-（1+2+2²+…+2^n-1）
=n²-$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=n²+1-2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查方程思想與分組求和法、公式法的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．