Question

7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年．在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個(gè)面均為直角三角形的四面體．如圖，在塹堵ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．
（Ⅰ）求證：四棱錐B-A₁ACC₁為陽(yáng)馬；并判斷四面體B-A₁CC₁是否為鱉臑，若是，請(qǐng)寫(xiě)出各個(gè)面的直角（只要求寫(xiě)出結(jié)論）．
（Ⅱ）若A₁A=AB=2，當(dāng)陽(yáng)馬B-A₁ACC₁體積最大時(shí)，求二面角C-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由塹堵ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)得：四邊形A₁ACC₁是矩形，推導(dǎo)出BC⊥A₁A，BC⊥AC，從而B(niǎo)C⊥平面A₁ACC₁，由此能證明四棱錐B-A₁ACC₁為陽(yáng)馬，四面體B-A₁CC₁是否為鱉臑，四個(gè)面的直角分別是∠A₁CB，∠A₁C₁C，∠BCC₁，∠A₁C₁B．
（Ⅱ）陽(yáng)馬B-A₁ACC₁的體積：$V=\frac{1}{3}{S}_{矩形{A}_{1}AC{C}_{1}}•BC$≤$\frac{1}{3}（A{C}^{2}+B{C}^{2}）=\frac{1}{3}×A{B}^{2}=\frac{4}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=$\sqrt{2}$時(shí)，${V}_{max}=\frac{4}{3}$，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)陽(yáng)馬B-A₁ACC₁體積最大時(shí)，二面角C-A₁B-C₁的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）由塹堵ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)得：四邊形A₁ACC₁是矩形，
∵A₁A⊥底面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥A₁A，又BC⊥AC，A₁A∩AC=A，A₁A，AC?平面A₁ACC₁，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴四棱錐B-A₁ACC₁為陽(yáng)馬，
四面體B-A₁CC₁是否為鱉臑，四個(gè)面的直角分別是∠A₁CB，∠A₁C₁C，∠BCC₁，∠A₁C₁B．
解：（Ⅱ）∵A₁A=AB=2，
由（Ⅰ）知陽(yáng)馬B-A₁ACC₁的體積：
$V=\frac{1}{3}{S}_{矩形{A}_{1}AC{C}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}×{A}_{1}A×AC×BC$=$\frac{2}{3}AC×BC$≤$\frac{1}{3}（A{C}^{2}+B{C}^{2}）=\frac{1}{3}×A{B}^{2}=\frac{4}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=$\sqrt{2}$時(shí)，${V}_{max}=\frac{4}{3}$，
以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（0，$\sqrt{2}$，2），B（$\sqrt{2}$，0，0），C₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{CB}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（$\sqrt{2}$，0，-2），
設(shè)平面CA₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=\sqrt{2}y+2z-0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
設(shè)平面C₁A₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}=\sqrt{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=\sqrt{2}a-2c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，0，1），
設(shè)當(dāng)陽(yáng)馬B-A₁ACC₁體積最大時(shí)，二面角C-A₁B-C₁的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)陽(yáng)馬B-A₁ACC₁體積最大時(shí)，二面角C-A₁B-C₁的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐是陽(yáng)馬的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．