Question

如圖所示扇形AOB，半徑為2，∠AOB=

π

3

，過(guò)半徑OA上一點(diǎn)C作OB的平行線，交圓弧AB于點(diǎn)P．
（Ⅰ）若C是OA的中點(diǎn)，求PC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）設(shè)∠COP=θ，求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,扇形面積公式

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）C是OA的中點(diǎn)，在△OPC中，直接利用余弦定理求PC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）∠COP=θ，利用正弦定理求出OC，表示出△POC面積的表達(dá)式，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的最值求解函數(shù)的最大值及此時(shí)θ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵CP∥OB，∠AOB=

π

3

，∴∠OCP=

2π

3

，
若C是OA的中點(diǎn)，則在△OPC中，OP²=OC²+CP²-2OC•CP•cos∠OCP，
即4=1+CP²+CP，解得CP=

13 -1

2

．
（Ⅱ） 由正弦定理

OC

sin( π 3 -θ)

=

OP

sin 2π 3

，OC=

4 3

3

sin(

π

3

-θ)，
所以S△OCP=

1

2

OP•OC•sinθ

= 1 2 •2• 4 3 3 sin( π 3 -θ)•sinθ= 4 3 3 ( 3 2 cosθ- 1 2 sinθ)•sinθ

=2cosθsinθ-

2 3

3

sin2θ=sin2θ-

3

3

(1-cos2θ)=

2 3

3

(

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ)-

3

3

=

2 3

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

3

，θ∈(0，

π

3

)，
∵2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)∴S△OPC∈(0，

3

3

)．
當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，maxS=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．