Question

命題p：函數(shù)f（x）=ax³+ax²+x既有極大值又有極小值；命題q：拋物線x²=2ay（a≠0）的準(zhǔn)線與圓C：（x-2）²+（y+2）²=1相交．
（1）若“p或q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：常規(guī)題型,簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先考慮p，q為真時(shí)的等價(jià)結(jié)論：函數(shù)f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即判別式＞0；又拋物線x²=2ay（a≠0）的準(zhǔn)線與圓C：（x-2）²+（y+2）²=1相交即圓心C（2，-2）到拋物線x²=2ay，（a≠0）的準(zhǔn)線：y=-

a

2

的距離小于1，再由真值表列出不等式組求出a的范圍．

解答： 解：命題p真：函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，
即：f'（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，
則f'（x）=3ax²+2ax+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，
∴

a≠0 △=4a2-12a＞0

則：a＞3或a＜0…（3分）
命題q真：圓心C（2，-2）到拋物線x²=2ay，（a≠0）的準(zhǔn)線：y=-

a

2

的距離小于1，
即|-

a

2

+2|＜1
∴2＜a＜6
（1）若“p或q”為真命題，
∴p或q中有真命題，
∴a＞2或a＜0；
即：實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）∪（-∞，0）…（9分）
（2）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
則：p，q一真一假．
當(dāng)p假q真時(shí)，有

0≤a≤3 2＜a＜6

即2＜a≤3；
當(dāng)p真q假時(shí)，有

a＞3或a＜0 a≥6或a≤2

，解得：a＜0或a≥6．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（2，3]∪[6，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，在確定命題p，q為真命題時(shí)，求參數(shù)a的取值范圍，難度比較大，也容易出錯(cuò)．