Question

已知函數(shù)f（x）=2e^x-（x-a）²+3，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）若x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線與x軸平行得到f′（0）=2（a+1）=0，從而求得a的值；
（2）對原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，得到原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在[0，+∞）恒大于等于0，說明原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求得導(dǎo)函數(shù)的最小值g（0）=2（1+a）．然后對g（0）大于等于0和小于0分類，
當(dāng)2（1+a）≥0時原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)橫大于等于0，原函數(shù)在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求出最小值，由最小值大于等于0求解a的取值范圍；當(dāng)2（1+a）＜0時，設(shè)出導(dǎo)函數(shù)的零點，通過分析原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號得到f（x）在導(dǎo)函數(shù)的零點處取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3，結(jié)合x0=ex0+a進(jìn)一步求出f（x₀），由f（x₀）≥0求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=2e^x-（x-a）²+3，得：
f′（x）=2（e^x-x+a），
∵y=f（x）在x=0處切線與x軸平行，即在x=0切線斜率為0，
即f′（0）=2（a+1）=0，
∴a=-1；
（2）f′（x）=2（e^x-x+a），
令g（x）=2（e^x-x+a），則g′（x）=2（e^x-1）≥0，
∴g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，g（0）=2（1+a）．
（i）當(dāng)2（1+a）≥0，即a≥-1時，f′（x）=2（e^x-x+a）≥f′（0）≥0，f（x）在
[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，要想f（x）≥0，只需要f（0）=5-a²≥0，
解得-

5

≤a≤

5

，從而-1≤a≤

5

．
（ii）當(dāng)2（1+a）＜0，即a＜-1時，
由g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增知，
存在唯一x₀使得g(x0)=2(ex0-x0+a)=0，有ex0=x0-a，
令f′（x₀）＞0，解得x＞x₀，
令f′（x₀）＜0，解得0≤x＜x₀，
從而f（x）在x=x₀處取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3，
又x0=ex0+a，
f(x0)=2ex0-(ex0)2+3=-(ex0+1)(ex0-3)，
從而應(yīng)有f（x₀）≥0，即
ex0-3≤0，解得0＜x₀≤ln3，
由ex0=x0-a可得a=x0-ex0，
有l(wèi)n3-3≤a＜-1．
綜上所述，ln3-3≤a≤

5

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對于（2）中的恒成立問題，涉及到對原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，使問題的難度更大，特別是當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的最小值小于0時，如何借助于導(dǎo)函數(shù)的零點分析原函數(shù)的最小值，更是大多數(shù)學(xué)生難以逾越的地方，屬難度較大的題目．