Question

【題目】定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）=﹣x2+mx﹣1．
（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x＞0，則﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣mx﹣1

又f（x）為奇函數(shù)，即f（﹣x）=﹣f（x），

所以，f（x）=x2+mx+1（x＞0），

又f（0）=0，

所以

（2）解：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

由方程f（x）=0有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個(gè)不同的交點(diǎn)，

又f（0）=0，所以f（x）=x2+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

即，方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等正根，記兩根分別為x1，x2

，

所以，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜﹣2

【解析】（1）先根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，判斷f（0）=0，再根據(jù)當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣f（﹣x）根據(jù)x，0時(shí)，f（x）=﹣x2+mx﹣1得到x＞0時(shí)函數(shù)的解析式，最后綜合即可得到答案．（2）由方程f（x）=0有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個(gè)不同的交點(diǎn)，又f（0）=0，所以f（x）=x2+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即，方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等正根，記兩根分別為x1 ， x2得出關(guān)于m的不等關(guān)系，從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．