Question

【題目】如圖，已知正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB=2，點M，N分別在PA，BD上，且 = ．
（1）求異面直線MN與PC所成角的大小；
（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AC與BD的交點為O，AB=PA=2．以點O為坐標原點，

， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系O﹣xyz．

則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），

設P（0，0，p），則 =（﹣1，1，p），又AP=2，

∴1+1+p2=4，∴p= ，

∵ = = =（ ），

=（ ），

∴ =（﹣1，1，﹣ ）， =（0， ，﹣ ），

設異面直線MN與PC所成角為θ，

則cosθ= = = ．

θ=30°，

∴異面直線MN與PC所成角為30°

（2）解： =（﹣1，1，﹣ ）， =（1，1，﹣ ）， =（ ，﹣ ），

設平面PBC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（0， ，1），

設平面PNC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取c=1，得 =（ ，2 ，1），

設二面角N﹣PC﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）設AC與BD的交點為O，AB=PA=2．以點O為坐標原點， ， ， 方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系O﹣xyz．利用向量法能求出異面直線MN與PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．