Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函數(shù)，g（x）=x-a

x

在（0，1）上為減函數(shù)，有以下四個結(jié)論：①a的取值有無數(shù)個；
②a的取值是唯一的；
③當(dāng)x＞0時，f（x）≥g（x）+2恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號；
④當(dāng)b＞-1時，若f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，則b的取值范圍是（-1，1]．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：依題意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，即a≤2x²，?x∈（1，2]恒成立，又g′（x）=1-

a

2 x

，依題意恒成立g'（x）≤0，?x∈（0，1），故①不正確；②正確；
由f（x）=g（x）+2知，方程x²-2lnx-x+2

x

-2=0，設(shè)h（x）=x²-2lnx-x+2

x

-2（x＞0），確定h（x）在x=1處有一個最小值0，即可判斷；
分離b得出b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，令φ（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，需b≤φ（x）_min．

解答： 解：f′（x）=2x-

a

x

，
依題意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，即a≤2x²，?x∈（1，2]恒成立．
∴a≤2（1）
又g′（x）=1-

a

2 x

，依題意，?x∈（0，1），g'（x）≤0恒成立，
即a≥2

x

，?x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2．（2）
由（1）（2）得a=2．故①不正確；②正確；
由f（x）=g（x）+2知，方程x²-2lnx-x+2

x

-2=0，
設(shè)h（x）=x²-2lnx-x+2

x

-2（x＞0），
則h′（x）=

( x -1)[(2x+1) x +2(x+1)]

x

，令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	遞減	0	遞增

知h（x）在x=1處有一個最小值0，
∴當(dāng)x＞0時，f（x）≥g（x）+2恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，故③不正確；
（4）f（x）≥2bx-

1

x2

，即x²-2lnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，
分離b得出b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，令φ（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，需b≤φ（x）_min
求導(dǎo)得出φ′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

．
由于x∈（0，1]，所以 φ′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

＜0，
φ（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，φ（x）≥φ（1）=1，所以b≤1，又b＞-1，所以1＞b＞-1，即④正確．
故選：C．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最大值、最小值中的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大．