Question

設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm²，畫面的寬與高的比為λ（λ＞0），畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
（1）用λ表示宣傳畫所用紙張面積S=f（λ）；
（2）判斷函數(shù)S=f（λ）在（0，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（3）當λ取何值時，宣傳畫所用紙張面積S=f（λ）最�。�

Answer 1

解：（1）設畫面高為xcm，寬為λxcm，則λx²=4840．
所以紙張面積為S=f（λ）=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
將x=代入上式，得S=f（λ）=5000+44（8）．
（2）設
則=
=-----------
當時，，∴，
∴，
∴f（λ₁）-f（λ₂）＞0，即f（λ₁）＞f（λ₂），
∴函數(shù)S=f（λ）在上是減函數(shù)．
同理可證S=f（λ）在上是增函數(shù)．
（3）由（2）知，當時，S=f（λ）是減函數(shù)，∴
當時，S=f（λ）是增函數(shù)，∴；
∴當時，
答：時，使所用紙張面積最小為6760cm²
分析：（1）設畫面高為xcm，寬為λxcm，則λx²=4840，可得紙張面積，從而可得結論；
（2）利用單調性的定義，即可得出結論；
（3）利用函數(shù)的單調性，即可求最值．
點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查函數(shù)的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．