Question

8．已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a²+b²≠0，過點(diǎn)M（-1，0）作直線ax+by+2b-a=0的垂線，垂足為N，點(diǎn)P（1，1），則|PN|的最大值為$\sqrt{5}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直線ax+by+2b-a=0化為a（x-1）+b（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，可得直線ax+by+2b-a=0過定點(diǎn)Q（1，-2）．可知：垂足N在以MQ為直徑的圓上，圓心即相等MQ的中點(diǎn)C（0，-1）．|PN|的最大值為|PC|+r．

解答 解：直線ax+by+2b-a=0化為a（x-1）+b（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-2．
∴直線ax+by+2b-a=0過定點(diǎn)Q（1，-2）．
∴垂足N在以MQ為直徑的圓上，
圓心即相等MQ的中點(diǎn)C（0，-1）．
其圓的方程為：x²+（y+1）²=2．
|PC|=$\sqrt{5}$．
∴|PN|的最大值為$\sqrt{5}+\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{5}+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．