Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂漸近線分別為l₁，l₂，位于第一象限的點(diǎn)P在l₁上，若l₂⊥PF₁，l₂∥PF₂，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，漸近線分別為l₁，l₂，點(diǎn)P在第一 象限內(nèi)且在l₁上，知F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），由漸近線l₁的直線方程為y=$\frac{a}$x，漸近線l₂的直線方程為y=-$\frac{a}$x，l₂∥PF₂，知ay=bc-bx，由ay=bx，知P（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），由此能求出離心率．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
漸近線分別為l₁，l₂，點(diǎn)P在第一 象限內(nèi)且在l₁上，
∴F₁（-c，0）F₂（c，0）P（x，y），
漸近線l₁的直線方程為y=$\frac{a}$x，漸近線l₂的直線方程為y=-$\frac{a}$x，
∵l₂∥PF₂，∴$\frac{y}{x-c}=-$$\frac{a}$，即ay=bc-bx，
∵點(diǎn)P在l₁上即ay=bx，
∴bx=bc-bx即x=$\frac{c}{2}$，∴P（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），
∵l₂⊥PF₁，
∴$\frac{\frac{bc}{2a}}{\frac{3c}{2}}•（-\frac{a}）=-1$，即3a²=b²，
∵a²+b²=c²，
∴4a²=c²，即c=2a，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線和雙曲線位置關(guān)系的靈活運(yùn)用．