Question

16．下列四個命題
①已知命題P：?x∈R，x²+x＜0，則?P：?x∈R，x²+x＜0；
②$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（1，2）；
③若實(shí)數(shù)x，y滿足xy=1，則x²+2y²的最小值為$2\sqrt{2}$；
④設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則a?α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分條件；
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①利用命題的否定定義即可判斷出正誤；
②分別畫出y=x²與y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的圖象，可知：函數(shù)$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$的零點(diǎn)有兩個，再利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可判斷出；
③利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤；
④利用面面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷出正誤．

解答 解：①由命題P：?x∈R，x²+x＜0，則?P：?x∈R，x²+x≥0，因此不正確；
②$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$，分別畫出y=x²與y=$（\frac{1}{2}）^{x}$的圖象，可知：函數(shù)$y={x^2}-{（{\frac{1}{2}}）^x}$的零點(diǎn)有兩個：一個零點(diǎn)在區(qū)間（0，1），另一個零點(diǎn)-2，因此不正確；
③若實(shí)數(shù)x，y滿足xy=1，則x²+2y²≥$2\sqrt{2xy}$=$2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$y時取等號，其最小值為$2\sqrt{2}$，正確；
④∵a?α，b⊥β，α∥β，利用面面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)定理可得：a⊥b，反之不成立，因此a?α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分條件，正確．
其中真命題的個數(shù)為2．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的零點(diǎn)、基本不等式的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．