Question

【題目】設函數(shù)f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是實數(shù)，曲線y=f（x）恒與x軸相切于坐標原點．
（1）求常數(shù)b的值；
（2）當a=1時，討論函數(shù)f（x）的單調性；
（3）當0≤x≤1時關于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：對f（x）求導得：

f'（x）=﹣aln（x+1）+

根據條件知f'（0）=0，所以1﹣b=0，

故b=1

（2）解：當a=1時，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定義域為（﹣1，+∞）

f'（x）=﹣ln（x+1）+ ﹣1=﹣ln（x+1）+ ﹣2

令f'（x）=0，則導函數(shù)零點x+1=1，故x=0；

當x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上單調遞增；

當x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減

（3）解：由（1）知，f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1

f'（x）=﹣aln（x+1）+ ﹣1

f'（x）=﹣

①當a 時，因為0≤x≤1，有f'（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上單調遞增，從而f'（x）≥f'（0）=0，

因此f（x）在[0，1]上單調遞增，即f（x）≥f（0）而且僅有f（0）=0；

②當a≥0時，因為0≤x≤1，有f'（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上單調遞減，從而f'（x）≤f'（0）=0，

因此f（x）在[0，1]上單調遞減，即f（x）≤f（0）=0而且僅有f（0）=0；

③當﹣ ＜a＜0時，令m=min{1，﹣ }，當0≤x≤m時，f'（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上單調遞減，從而f'（x）≤f'（0）=0

因此f（x）在[0，m]上單調遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0；

綜上：所求實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）對f（x）求導，根據條件知f'（0）=0，所以1﹣b=0；（2）當a=1時，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定義域為（﹣1，+∞）；令f'（x）=0，則導函數(shù)零點x+1=1，故x=0；
當x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上單調遞增；當x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；（3）因為f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，對a進行分類討論根據函數(shù)的單調性求得參數(shù)a使得不等式f（x）≥0；
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．