【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ 有兩個零點x1、x2
(1)求k的取值范圍;
(2)求證:x1+x2

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=lnx﹣ 有2個零點,

即函數(shù)g(x)=xlnx的圖象與直線y=k有2個交點,

g′(x)=lnx+1,

令g′(x)>0,解得:x> ,令g′(x)<0,解得:0<x<

∴g(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增,

x= 是極小值點,g( )=﹣ ,

又x→0時,g(x)→0,

x→+∞時,g(x)→+∞,g(1)=0,

g(x)的大致圖象如圖示:

由圖象得:﹣ <k<0


(2)證明:不妨設(shè)x1<x2,由(1)得:0<x1 <x2<1,

令h(x)=g(x)﹣g( ﹣x)=xlnx﹣( ﹣x)ln( ﹣x),

h′(x)=ln[﹣(ex﹣1)2+1],

當(dāng)0<x< 時,h′(x)<0,h(x)在(0, )遞減,h( )=0,

∴h(x1)>0,即g(x1)>g( ﹣x1),g(x2)>g( ﹣x1),

x2, ﹣x1∈( ,+∞),g(x)在( ,+∞)遞增,

∴x2 ﹣x1

故x1+x2


【解析】(1)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=xlnx的圖象與直線y=k有2個交點,求出g(x)的單調(diào)性,畫出函數(shù)圖象,從而求出k的范圍即可;(2)設(shè)x1<x2 , 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到x2 , ﹣x1∈( ,+∞),g(x)在( ,+∞)遞增,從而證出結(jié)論即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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A.12
B.9
C.15
D.18

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A.0
B.2
C.5
D.6

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