Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c+lnx（a≠0），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=x-1．
（Ⅰ）試用a表示b、c；
（Ⅱ）討論f（x）的定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，先將（1，f（1））代入切線方程求出f（1），再將（1，f（1））代入f（x）得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，再利用f′（1）=1得到第二個(gè)關(guān)于a，b，c的方程．聯(lián)立即可用a表示b，c．
第（2）問(wèn)應(yīng)該先求定義域，然后求導(dǎo)，將討論單調(diào)性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)討論不等式的問(wèn)題，一般是將不等式化歸為一元二次不等式的問(wèn)題，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象對(duì)不等式的解進(jìn)行討論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2ax+b+

1

x

，∴f′（1）=2a+b+1，又曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=x-1，∴2a+b+1=1，f（1）=a+b+c=0，∴b=-2a，c=a
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=2ax-2a+

1

x

=

2ax2-2ax+1

x

=

2a(x- 1 2 )2+1- a 2

x

（x＞0），
①當(dāng)a＜0時(shí)，1-

a

2

＞0，令f′（x）=0得x1=

1

2

(1-

1- 2 a

)＜0，x2=

1

2

(1+

1- 2 a

)＞0，
∴當(dāng)x∈(0，

1

2

(1+

1- 2 a

))時(shí)，f′(x)＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(

1

2

(1+

1- 2 a

)，+∞)時(shí)，f′(x)＜0，f（x）單調(diào)遞減；
②當(dāng)0＜a≤2時(shí)，1-

a

2

≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＞2時(shí)，1-

a

2

＜0，令f′（x）=0得x1=

1

2

(1-

1- 2 a

)＞0，x2=

1

2

(1+

1- 2 a

)，
當(dāng)x∈(0，

1

2

(1-

1- 2 a

))時(shí)，f′(x)＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(

1

2

(1-

1- 2 a

)，

1

2

(1+

1- 2 a

))時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1

2

(1+

1- 2 a

)，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：研究函數(shù)的單調(diào)性，本質(zhì)上就是求解不等式的問(wèn)題，一般的思路是求定義域、求導(dǎo)數(shù)、化簡(jiǎn)成一元二次不等式、解不等式．最后一個(gè)環(huán)節(jié)往往是借助于不等式所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象分類討論解決問(wèn)題．這是一個(gè)高考的重點(diǎn)，也是熱點(diǎn)問(wèn)題．