Question

16．已知向量$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ）$，向量$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則tanθ的值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 依題意，得：$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，因此可得θ=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z），繼而可求得tanθ=-$\sqrt{3}$，得到答案．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ）$，$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，
∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），
∴θ=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z），
∴tanθ=-$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查平面向量數量積的坐標運算，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$求得θ+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z）是關鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．