Question

16．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面CBE⊥平面CDE；
（2）求直線EF與平面CBE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，證得線線垂直，再證明面面垂直．
（2）過F作FN⊥CE交CE于N，則FN⊥平面CBE，連接EF，則∠NEF就是直線EF與平面CBE所成的角，找到角再利用線面關(guān)系求得，或者利用直角坐標(biāo)系求解．

解答 （1）證明：因?yàn)镈E⊥平面ACD，DE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．
在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中點(diǎn)M，
連接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，則四邊形FMBA為平行四邊形，
從而BM∥AF．
所以BM⊥平面CDE．
又BM?平面BCE，則平面CBE⊥平面CDE．…（7分）
（2）法一：過F作FN⊥CE交CE于N，則FN⊥平面CBE，連接EF，則∠NEF就是直線
EF與平面CBE所成的角…（11分）
設(shè)AB=1，則$FN=\sqrt{2}，EF=\sqrt{5}$，在Rt△EFN中，$sin∠NFE=\frac{FN}{EF}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故直線EF與平面CBE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（15分）
法二：以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)D、FA、FM所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示．F（0，0，0），E（1，0，2），$B（0，\sqrt{3}，1）$，C（-1，0，0），平面CBE的一個(gè)法向量
為$\overrightarrow{n}=（-1，0，1），|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2}$$\overrightarrow{EF}=（-1，0-2）$…（11分）
則   $cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}＞=\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
故直線EF與平面CBE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了面面垂直的性質(zhì)定理和線面教的求法，屬于中檔題型，高考�？迹�