Question

7．已知公比q＞0的等差數(shù)列 {a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₃=7．數(shù)列 {b_n}中 b₁=0，b₃=1
（Ⅰ）若數(shù)列 {a_n+b_n}是等差數(shù)列，求 a_n，b_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求數(shù)列 {b_n}的前n項和 T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過S₃=7可得q=2，從而a_n=2^n-1，利用a₁+b₁=1、a₃+b₃=5可得數(shù)列{a_n+b_n}的公差d=2，計算即得結論；
（Ⅱ）通過結合法、利用等差、等比數(shù)列的求和公式，計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：S₃=1+q+q²=7，
解得：q=-3或q=2，
∵公比q＞0，∴q=2，∴a_n=2^n-1，
∴a₁+b₁=1，a₃+b₃=5，
∴數(shù)列{a_n+b_n}的公差d=2，
∴a_n+b_n=2n-1，
∴b_n=2n-1-a_n=（2n-1）-2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=（2n-1）-2^n-1，
∴T_n=（1-2⁰）+（3-2¹）+（5-2²）+…+[（2n-1）-2^n-1]
=[1+3+5+…+（2n-1）]-（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）
=n²-2ⁿ+1．

點評 本題考查求數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．