Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和都為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓交于P、Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠POQ=90°，求證$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得橢圓長半軸長，結(jié)合離心率求得半焦距，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線OP的方程y=kx，和橢圓聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，得到|OP|²，再由OP⊥OQ寫出OQ方程，和橢圓聯(lián)立求出Q坐標(biāo)，得到|OQ|²，代入$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$后整理可得其為定值．

解答 （Ⅰ）解：由題意可得：2a=4，a=2，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，則$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
∴橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₁，y₁），
若k存在，設(shè)直線OP的方程為l₁：y=kx，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得${{x}_{1}}^{2}=\frac{4}{1+4{k}^{2}}，{{y}_{1}}^{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
即$|OP{|}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
∵∠PAQ=90°，以$-\frac{1}{k}$代換上式的k得，$|OQ{|}^{2}=\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{1+4{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}+\frac{4+{k}^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$=$\frac{5（1+{k}^{2}）}{4（1+{k}^{2}）}=\frac{5}{4}$．
若k不存在，即P、Q分別是橢圓長、短軸的頂點(diǎn)，|OP|²=4，|OQ|²=1．
則$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{5}{4}$．
綜上：$\frac{1}{|PQ{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}=\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，是中檔題．