Question

13．（理）在三棱錐S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，平面SBC與平面SAC所成的角為60°，且三棱錐S-ABC的體積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，則三棱錐的外接球的半徑為（　�。�

• A． 3
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 設SB=BC=x，則SC=$\sqrt{2}$x，由題意SB=BC=SA=AC=x，SC為三棱錐的外接球的直徑．過S點作SD⊥平面ABC，連接BD，AD，可知∠CBD=∠CAD=90°，∠SAD=60°，利用三棱錐的體積公式求出x，即可求出三棱錐的外接球的半徑．

解答 解：如圖所示，設SB=BC=x，則SC=$\sqrt{2}$x，由題意SB=BC=SA=AC=x，SC為三棱錐的外接球的直徑．
過S點作SD⊥平面ABC，連接BD，AD，可知∠CBD=∠CAD=90°，∠SAD=60°，D點在AB邊上的中線上，則AB被CD垂直平分，設交點為E，
∵SA=x，∴AD=$\frac{1}{2}$x，SD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}x×\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}x$×AE，
∴AE=$\frac{1}{\sqrt{5}}$x，
又x²=CE×$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴CE=$\frac{2}{\sqrt{5}}$x，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{2}{\sqrt{5}}x×\frac{2}{\sqrt{5}}x$x=$\frac{2}{5}$x²，
∵三棱錐S-ABC的體積為$\frac{2\sqrt{6}}{15}$，
∴$\frac{2\sqrt{6}}{15}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$x²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴SC=2，
∴三棱錐的外接球的半徑為1，
故選：B．

點評 本題考查三棱錐體積的計算，考查三棱錐的外接球的半徑，正確求體積是關鍵．