Question

2．在△ABC中，A，B，C為三個內(nèi)角a，b，c為相應的三條邊，若$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，且$\frac{a-b}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$．
（1）求證：A=C；
（2）若|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$|=2，試將$\frac{2}{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}}$表示成C的函數(shù)f（C），并求f（C）值域．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理化簡可得sinB=sin2C，解得B=2C或B+2C=π，利用角C的范圍及三角形內(nèi)角和定理分類討論即可得證．
（2）由B+2C=π，可得cosB=-cos2C．由$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=2$，利用平面向量數(shù)量積的運算，結合a=c，可得${a^2}=\frac{2}{1+cosB}=\frac{2}{1-cos2C}$，從而可求f（C）=$\frac{2}{{{a^2}cosB}}=1-\frac{1}{cos2C}$，結合C的范圍，利用余弦定理的圖象和性質(zhì)即可得解f（C）值域．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由$\frac{a-b}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，及正弦定理有sinB=sin2C，
∴B=2C或B+2C=π．  …（2分）
若B=2C，且$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2}{3}π＜B＜π$，B+C＞π（舍）； …（4分）
∴B+2C=π，所以 A=C，…（5分）
（2）∵B+2C=π，∴cosB=-cos2C．
∵$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=2$，∴a²+c²+2ac•cosB=4，…（7分）
∴${a^2}=\frac{2}{1+cosB}=\frac{2}{1-cos2C}$（∵a=c），
從而 f（C）=$\frac{2}{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}}$=$\frac{2}{{{a^2}cosB}}=1-\frac{1}{cos2C}$…（8分）
∵$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}＜2C＜π$，∴$-1＜cos2C＜-\frac{1}{2}$，
∴2＜f（C）＜3，所以 f（C）值域是（2，3）…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，平面向量數(shù)量積的運算，三角形內(nèi)角和定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．