如圖，F(xiàn)是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的右焦點(diǎn)，\直線l：x=4是橢圓C的右準(zhǔn)線，F(xiàn)到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，PM⊥l，垂足為M．是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（1）設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由已知，得
a2
c
=4
a2
c
-c=3
∴
a=2
c=1
∴b=
3
．
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由
PF
PM
=e=
1
2
，得PF=
1
2
PM．∴PF≠PM．
①若PF=FM，則PF+FM=PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與PM相等．
②若FM=PM，設(shè)P（x，y）（x≠±2），則M（4，y）．
∴
32+y2
=4-x，∴9+y2=16-8x+x2，又由
x2
4
+
y2
3
=1，得y2=3-
3
4
x2．
∴9+3-
3
4
x2=16-8x+x2，∴
7
4
x2-8x+4=0．∴7x2-32x+16=0．
∴x=
4
7
或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=
4
7
．∴P（
4
7
，±
3
15
7
）．
綜上，存在點(diǎn)P（
4
7
，±
3
15
7
），使得△PFM為等腰三角形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上點(diǎn)P(3
2
，4)到兩焦點(diǎn)的距離之和是12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

巳知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為
3
2
，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)G在橢圓上，
GF1
⊥
GF2
，且△GF1F2的面積為3，則橢圓的方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），右準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)A，且
AF1
=2
AF2
．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若方程
x2
a2
+
y2
a+6
=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(-
3
，0)，(
3
，0)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+2與C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）寫出C的方程；
（2）求證：-1＜
OA
•
OB
＜
13
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知A，B，P為橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1（m，n＞0）上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積kPA•kPB=-2，則該橢圓的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，F(xiàn)1F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是這個(gè)橢圓上任意一點(diǎn)，那么當(dāng)|PF1|•|PF2|取最大值時(shí)，P、F1、F2三點(diǎn)（　�。�
A．共線
B．組成一個(gè)正三角形
C．組成一個(gè)等腰直角三角形
D．組成一個(gè)銳角三角形

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同步練習(xí)冊答案