Question

如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其左、右頂點(diǎn)分別是、，左、右焦點(diǎn)分別是、，（異于、）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接交直線于、兩點(diǎn),若成等比數(shù)列.

（1）求此橢圓的離心率；

（2）求證:以線段為直徑的圓過點(diǎn).

 

Answer 1

（1）（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的幾何意義知，，，由等比數(shù)列知，，即，兩邊同除以化為關(guān)于離心率的方程，求出離心率；（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線兩點(diǎn)式方程寫出直線PA，PB方程，通過解PA與及PB與方程分別組成的方程組，解出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再通過計(jì)算向量法=0，證明，證明為直徑的圓過點(diǎn).

試題解析：（1）由題意可知，成等比數(shù)列，所以

（2）由，橢圓經(jīng)過點(diǎn)可知，橢圓方程為

設(shè)，由題意可知

解得，則

故以線段為直徑的圓過點(diǎn).

考點(diǎn)：1.橢圓的幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.運(yùn)算求解能力.