Question

6．已知$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$是非零向量且滿足（$\overrightarrow{AB}-$2$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，（$\overrightarrow{AC}$-2$\overrightarrow{AB}$）$⊥\overrightarrow{AC}$，則∠A等于（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 由已知的向量垂直得到數(shù)量積為0，得到AB，AC的方程組，結(jié)合數(shù)量積公式得到∠A的余弦值．

解答 解：因為（$\overrightarrow{AB}-$2$\overrightarrow{AC}$）⊥$\overrightarrow{AB}$，（$\overrightarrow{AC}$-2$\overrightarrow{AB}$）$⊥\overrightarrow{AC}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{（\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AB}=0}\\{（\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
所以|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²，即AB=AC，
由（$\overrightarrow{AB}-$2$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AB}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}-2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cosA=0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，所以A=60°；
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運用；向量垂直，數(shù)量積為0經(jīng)常考查．