Question

已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是

[　　]

A．

B．

C．4π

D．

Answer 1

答案：D
解析：

解法1：由于A、B、C是球面上的三點(diǎn)，且AB=BC=CA=2，OA=OB=OC=R，可知O-ABC是正三棱錐． 設(shè)D為△ABC的中心，連結(jié)AD、OD， 則OD⊥平面ABC，且OD=R． 延長AD，與BC交于點(diǎn)E，則E為BC的中點(diǎn)，且AE⊥BC， ∴，∴ 在Rt△ODA中，OA=R，OD=，AD=， ∴∴． ∴． ∴選D． 解法2：設(shè)球的半徑為R，球面的面積為S，如圖所示，在Rt△ODA中，OA=R＞AD， 取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則△DEA為直角三角形，且AD為斜邊，∴AD＞AE==1， ∴R＞1， ∴． 據(jù)此可排除A、B、C． ∴選D． 設(shè)球心是O，可借助三棱錐O-ABC進(jìn)行分析解決，如下圖，O-ABC是正三棱錐，OD是高，OA等于球的半徑R，AB=BC=CA=2．為了球面積S，只需求出R即可． 對于本題，除通過計(jì)算取得答案外，也可用估值的方法作出判斷．