Question

12．某科技公司組織技術(shù)人員進(jìn)行新項(xiàng)目研發(fā)，技術(shù)人員將獨(dú)立地進(jìn)行項(xiàng)目中不同類(lèi)型的實(shí)驗(yàn)A，B，C，若A，B，C實(shí)驗(yàn)成功的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}$．
（1）對(duì)A，B，C實(shí)驗(yàn)各進(jìn)行一次，求至少有一次實(shí)驗(yàn)成功的概率；
（2）該項(xiàng)目要求實(shí)驗(yàn)A，B各做兩次，實(shí)驗(yàn)C做3次，如果A實(shí)驗(yàn)兩次都成功則進(jìn)行實(shí)驗(yàn)B并獲獎(jiǎng)勵(lì)10000元，兩次B實(shí)驗(yàn)都成功則進(jìn)行實(shí)驗(yàn)C并獲獎(jiǎng)勵(lì)30000元，3次C實(shí)驗(yàn)只要有兩次成功，則項(xiàng)目研發(fā)成功并獲獎(jiǎng)勵(lì)60000元（不重復(fù)得獎(jiǎng)）．且每次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，用X表示技術(shù)人員所獲獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)值，寫(xiě)出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A，B，C實(shí)驗(yàn)成功分別記為事件A，B，C，且相互獨(dú)立．記事件至少有一次實(shí)驗(yàn)成功為D，則P（D）=1-$P（\overline{A}\overline{B}\overline{C}）$=1-$P（\overline{A}）P（\overline{B}）P（\overline{C}）$，即可得出．
（II）X的取值分別為，0，10000，30000，60000．則P（X=0）包括實(shí)驗(yàn)A第一次不成功或第一次成功而第二次不成功，P（X=10000）包括實(shí)驗(yàn)A兩次成功，而B(niǎo)第一次不成功或第一次成功而第二次不成功，（X=30000）包括實(shí)驗(yàn)A，B的各兩次實(shí)驗(yàn)都成功，而實(shí)驗(yàn)C的三次都不成功或三次實(shí)驗(yàn)中只有一次成功，P（X=60000）包括實(shí)驗(yàn)A，B的各兩次實(shí)驗(yàn)都成功，而實(shí)驗(yàn)C的三次中都成功或三次中有兩次成功，進(jìn)而得出X分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)A，B，C實(shí)驗(yàn)成功分別記為事件A，B，C，且相互獨(dú)立．
記事件至少有一次實(shí)驗(yàn)成功為D，
則P（D）=1-$P（\overline{A}\overline{B}\overline{C}）$=1-$P（\overline{A}）P（\overline{B}）P（\overline{C}）$=1-$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{59}{60}$．
（II）X的取值分別為，0，10000，30000，60000．
則P（X=0）=$（1-\frac{4}{5}）$+$\frac{4}{5}×（1-\frac{1}{5}）$=$\frac{9}{25}$，P（X=10000）=$（\frac{4}{5}）^{2}$×$（\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}）$=$\frac{7}{25}$，
P（X=30000）=$（\frac{4}{5}）^{2}×（\frac{3}{4}）^{2}×[（\frac{1}{3}）^{3}+{∁}_{3}^{1}×（\frac{1}{3}）^{2}×\frac{2}{3}]$=$\frac{7}{75}$，P（X=60000）=$（\frac{4}{5}）^{2}×（\frac{3}{4}）^{2}$×$[（\frac{2}{3}）^{3}+{∁}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}]$=$\frac{4}{15}$，
X分布列為：

X	0	10000	30000	60000
P（X）	$\frac{9}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{7}{75}$	$\frac{4}{15}$

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=$0×\frac{9}{25}$+$10000×\frac{7}{25}$+$30000×\frac{7}{75}$+$60000×\frac{4}{15}$=21600元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立事件的概率、相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．