Question

17．如圖，已知在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=A₁A=$\frac{1}{2}$AB=2，點E是棱AB上一點，且$\frac{AE}{EB}$=λ．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求CE與平面D₁ED所成的角．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可證明：D₁E⊥A₁D；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求出線面所成的角的大�。�

解答 （1）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），A₁（2，0，2），B₁（2，4，2），
C₁（0，4，2），D₁（0，0，2）．
因為$\frac{AE}{EB}$=λ，所以E（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，0），
于是$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，-2）．$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，-2），
則$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，-2）•（-2，0，-2）=0，
即$\overrightarrow{{D}_{1}E}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，
則D₁E⊥A₁D．                                               
（2）解：因為D₁D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，2）．
又$\overrightarrow{CE}$=（2，$\frac{4λ}{1+λ}$，-2），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-4，2），
設(shè)平面D₁CE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{{n}_{2}}$•$\overrightarrow{CE}$=2x+y（$\frac{4λ}{1+λ}$-4）=0，
$\overrightarrow{{n}_{2}}$•$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=-4y+2z=0，
所以向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$的一個解為（2-$\frac{2λ}{1+λ}$，1，2）．
因為二面角D₁-EC-D的大小為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
則$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，較大λ=1，
即E（2，2，0），
故$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，2，0），$\overrightarrow{CE}$=（2，-2，0），
則$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=0，$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
即CE⊥平面D₁ED，
即CE與平面D₁ED所成的角為$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查線線垂直，考查二面角的平面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵．