Question

已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=3x²+a，g（x）=2x+b，若f（x）•g（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上為“Ω函數(shù)”．
（Ⅰ）設(shè)a＞0，若f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上為“Ω函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)a＜0且a≠b，若f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上為“Ω函數(shù)”，求|a-b|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用已知條件f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上為“Ω函數(shù)”，轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題為函數(shù)的最大值問題，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）通過b＜a、a＜b＜0、a＜0＜b、a＜0=b，利用f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上為“Ω函數(shù)”，分別轉(zhuǎn)化不等式求出b，a的范圍，然后求|a-b|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上為“Ω函數(shù)”，所以f（x）•g（x）≥0，
在區(qū)間[-1，+∞）上恒成立．即x∈[-1，+∞），（3x²+a）（2x+b）≥0，
∵a＞0，∴3x²+a＞0，∴2x+b≥0，即b≥-2x，∴b≥（-2x）_max，∴b≥2．
實(shí)數(shù)b的取值范圍：[2，+∞）；
（Ⅱ）①當(dāng)b＜a時(shí)，∵f（x）和g（x）在（b，a）上為“Ω函數(shù)”，
∴f（x）•g（x）≥0，在（b，a）上恒成立，即x∈（b，a），（3x²+a）（2x+b）≥0，恒成立，
∵b＜a＜0，∴?x∈（b，a），2x+b＜0，∴?x∈（b，a），a≤-3x²，∴b＜a≤-3b²，
∴a-b≤-3b²-b=-3（b+

1

6

）²+

1

12

≤

1

12

．
②當(dāng)a＜b＜0時(shí)，
∵f（x）和g（x）在（a，b）上為“Ω函數(shù)”，
∴f（x）•g（x）≥0，在（a，b）上恒成立，即x∈（a，b），（3x²+a）（2x+b）≥0，恒成立，
∵b＜0，∴?x∈（a，b），2x+b＜0，∴?x∈（a，b），a≤-3x²，∴a≤-3a²，∴-

1

3

≤a≤0，
∴b-a＜

1

3

．
③．當(dāng)a＜0＜b時(shí)，∵f（x）和g（x）在（a，b）上為“Ω函數(shù)”，
∴f（x）•g（x）≥0，在（a，b）上恒成立，即x∈（a，b），（3x²+a）（2x+b）≥0，恒成立，
∵b＞0，而x=0時(shí)，（3x²+a）（2x+b）=ab＜0，不符合題意．
④當(dāng)a＜0=b時(shí)，由題意x∈（a，0），（3x²+a）2x≥0，恒成立，
∴3x²+a≤0，∴-

1

3

≤a＜0，∴b-a≤

1

3

，
綜上可知|a-b|的最大值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)的恒成立問題的求解，本題思路靈活，解法巧妙，注意體會掌握．