Question

1．等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項和，已知a₂=2，S₅=15，數(shù)列{b_n}，b₁=1，對任意n∈N₊滿足b_n+1=2b_n+1．
（Ⅰ）數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，證明：T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=2，S₅=15，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁，d即可得出a_n．對任意n∈N₊滿足b_n+1=2b_n+1．變形為b_n+1+1=2（b_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出b_n．
（II）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=2，S₅=15，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵對任意n∈N₊滿足b_n+1=2b_n+1．∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列，公比為2．
∴${b_n}+1=2•{2^{n-1}}$，∴${b_n}={2^n}-1$．
（II）證明：c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
則數(shù)列{c_n}的前n項和${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得，$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}＜2$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．