Question

已知f（x）=（x+1）lnx-2x，設h（x）=f′（x）+

1

ex

，若h（x）＞k（k∈Z）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：求出f（x）的導數(shù)，再求h（x）的導數(shù)，由于h′（1）＜0，h′（2）＞0，則h′（x）在（1，2）存在一個零點x₀，得到h（x）在x=x₀處取極小值，也為最小值，且為lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

，即為lnx₀-（

x0-1

x0

）²，再由導數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值的范圍，由于k為整數(shù)，即可得到k≤0．

解答： 解：f（x）=（x+1）lnx-2x（x＞0）
則f′（x）=lnx+

1

x

-1，
即有h（x）=f′（x）+

1

ex

=lnx+

1

x

-1+

1

ex

，
則h′（x）=

1

x

-

1

x2

-

1

ex

，（x＞0）
由于h′（1）=1-1-

1

e

＜0，
h′（2）=

1

2

-

1

4

-

1

e2

＞0，
則h′（x）在（1，2）存在一個零點x₀，
當x∈（1，x₀），h′（x）＜0，x∈（x₀，2）時，h′（x）＞0，
即h（x）在x=x₀處取極小值，也為最小值，且為lnx₀+

1

x0

-1+

1

ex0

，
由于h′（x₀）=0，即有

1

ex0

=

1

x0

-

1

x02

，
則h（x）的最小值為lnx₀-（

x0-1

x0

）²，
由于1＜x₀＜2，lnx₀-（

x0-1

x0

）²的導數(shù)為

1

x0

-2（1-

1

x0

）•

1

x02

=

x02-2x0+2

x03

＞0，故最小值的范圍是（0，ln2-

1

4

），
而ln2-

1

4

＜1，故h（x）＞k（k∈Z）恒成立，即有k≤0，
則k的最大值為0．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求極值和最值，同時考查方程的根與零點的關系，及零點存在定理的運用，考查恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題，考查運算判斷能力，屬于中檔題．