Question

已知

a

=（x，1），

b

=（x+2sinθ，-1），
（1）若f（θ）=

a

•

b

，且x≠0，求f（θ）的最小值；
（2）若θ∈[0，2π），設f（x）=

a

•

b

，且f（x）在[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（1）化簡f（θ）=（x+sinθ）²-sin²θ-1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得可得f（θ）的最小值．
（2）由f（x）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及f（x）在[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)，可得-sinθ≤-

3

2

，即sinθ≥

3

2

，由此求得θ的范圍．

解答： 解：（1）∵f（θ）=

a

•

b

=x²+2xsinθ-1=（x+sinθ）²-sin²θ-1，且x≠0，
故f（θ）的最小值為-sin²θ-1．
（2）若θ∈[0，2π），設f（x）=

a

•

b

=（x+sinθ）²-sin²θ-1，且f（x）在[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)，
故-sinθ≤-

3

2

，即sinθ≥

3

2

．
再根據(jù) θ∈[0，2π），可得θ∈[

π

3

，

2π

3

]．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解三角不等式，屬于基礎題．