Question

16．若函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{1}{x}$在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，-1]
• C． [1，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 求導數(shù)f′（x），根據(jù)已知的f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增可得到ax-1≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，而a=0和a＜0都不能滿足ax-1≥0恒成立，所以需a＞0．所以一次函數(shù)y=ax-1為增函數(shù)，所以有a-1≥0，這樣即求出了實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$；
∵f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立；
∴ax-1≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立；
顯然，需a＞0；
∴函數(shù)y=ax-1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
∴$\frac{1}{2}$a-1≥0，a≥2；
∴實數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．
故選：D．

點評 考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，以及對增函數(shù)定義的運用．