Question

【題目】如圖，在三棱錐S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點．求證：

（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F為SB的中點．

∵E、G分別為SA、SC的中點，

∴EF、EG分別是△SAB、△SAC的中位線，可得EF∥AB且EG∥AC．

∵EF平面ABC，AB平面ABC，

∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC

又∵EF、EG是平面EFG內的相交直線，

∴平面EFG∥平面ABC；

（2）

證明：∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，

AF平面ASB，AF⊥SB．

∴AF⊥平面SBC．

又∵BC平面SBC，∴AF⊥BC．

∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．

又∵SA平面SAB，∴BC⊥SA．

【解析】（1）根據等腰三角形的“三線合一”，證出F為SB的中點．從而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用線面平行的判定定理，證出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因為EF、EG是平面EFG內的相交直線，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性質定理證出AF⊥平面SBC，從而得到AF⊥BC．結合AF、AB是平面SAB內的相交直線且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，從而證出BC⊥SA．