Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，D、E分別為AB、PC的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)F在BC邊上，BF=λBC，則實(shí)數(shù)λ為何值時(shí)，PB∥平面DEF；
（2）若∠PAC=∠PBC=90°，AB=2，AC=

5

，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）當(dāng)F作為BC中點(diǎn)時(shí)，結(jié)論成立，通過中位線性質(zhì)證明出EF∥PB，根據(jù)線面平行的判定定理證明出PB∥平面DEF．
（2）先通過三角形全等證明出AC=BC，進(jìn)而通過線面垂直的判定定理證明出AB⊥平面PDC，進(jìn)而求得CD，PC，利用余弦定理求得cos∠PDC的值，則sin∠PDC的值可得，最后利用三角形面積公式求得三角形PDC的面積，通過體積公式求得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)實(shí)數(shù)λ=

1

2

時(shí)，PB∥平面DEF．
證明：依題意知F為BC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，
∴EF∥PB，
∵EF?平面DEF，PB?平面DEF，
∴PB∥平面DEF．
（2）∵∠PAC=∠PBC=90°，BP=AP，PC=PC，
∴△PBC≌△PAC，
∴AC=BC，
連接PD，CD，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PDC，
∴PD=

3

2

AB=

3

，CD=

AC2-AD2

=2，PC=

PA2+AC2

=3
由余弦定理得，cos∠PDC=-

3

6

，
∴sin∠PDC=

33

6

，又S△PDC=

11

2

，
∴VP-ABC=

11

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用．證明的關(guān)鍵是找到線面平行或線面垂直．