Question

某單位為了提高員工素質，舉辦了一場跳繩比賽，其中男員工12人，女員工18人，其成績編成如圖所示的莖葉圖（單位：分），分數(shù)在175分以上者定為“運動健將”，并給予特別獎勵，其他人員則給予“運動積極分子”稱號．
（1）若用分層抽樣的方法從“運動健將”和“運動積極分子”中抽取10人，然后再從這10人中選4人，求至少有1人是“運動健將”的概率；
（2）若從所有“運動健將”中選3名代表，用ξ表示所選代表中女“運動健將”的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分層抽樣每個人被抽中的概率相等，求出選中的運動健與運動積極分子的人數(shù)，利用對立事件的概率公式可求出所求；
（2）由莖葉圖知男“運動健將有”8人，女“運動健將”有4人，故ξ的取值為0，1，2，3，然后根據(jù)等可能事件的概率公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式解之即可．

解答：解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“運動健將”12人，“運動積極分子”18人------------（1分）
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率為

10

30

=

1

3

，所以選中的運動健將有12×

1

3

=4人，運動積極分子有18×

1

3

=6人-----------------（3分）
設事件A：至少有1名‘運動健將’被選中，則P(A)=1-

C 4 6

C 4 10

=1-

1

14

=

13

14

-----------（5分）
（2）由莖葉圖知男“運動健將有”8人，女“運動健將”有4人，故ξ的取值為0，1，2，3------------（7分）
P(ξ=0)=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，P(ξ=1)=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

，P(ξ=2)=

C 1 8 C 2 4

C 3 12

=

12

55

，P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

---（9分）
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

---------------（10分）
Eξ=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1--------------（12分）

點評：本題主要考查了莖葉圖、等可能事件的概率以及離散型隨機變量的期望，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．