Question

在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=20，前n項(xiàng)和為S_n，且S₁₀=S₁₅，求當(dāng)n為何值時(shí)，S_n取得最大值，并求出它的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列的前12項(xiàng)為正數(shù)，第13項(xiàng)為0，從第14項(xiàng)開始為負(fù)值，易得當(dāng)n=12或13時(shí)，S_n取得最大值，由可得公差d，代入求和公式可得．

解答： 解：∵等差數(shù)列{a_n}中S₁₀=S₁₅，
∴S₁₅-S₁₀=a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅=5a₁₃=0，
∴a₁₃=0，
∴數(shù)列的前12項(xiàng)為正數(shù)，第13項(xiàng)為0，從第14項(xiàng)開始為負(fù)值，
∴當(dāng)n=12或13時(shí)，S_n取得最大值，
又公差d=

a13-a1

13-1

=-

5

3

，
∴S₁₂=12×20+

12×11

2

（-

5

3

）=130
∴S_n的最大值為130

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式，從數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)變化入手是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．