Question

14．橢圓與雙曲線有相同的焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），橢圓的一個短軸端點為B，直線F₁B與雙曲線的一條漸近線平行，若橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則3e₁²+e₂²的最小值為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設橢圓的長軸為2a，短軸為2b；雙曲線的實軸為2a'，虛軸為2b'．由橢圓、雙曲線的基本概念，結(jié)合直線平行的條件，建立關系式化簡可得$\frac{a{′}^{2}+b{′}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$，即（$\frac{c}{a′}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，可得e₁•e₂=1．由此結(jié)合基本不等式性質(zhì)可知：3e₁²+e₂²＞2$\sqrt{3{e}_{1}^{2}•{e}_{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即可求得3e₁²+e₂²的最小值$2\sqrt{3}$．

解答 解：由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，
設橢圓的長軸為2a，短軸為2b，雙曲線的實軸為2a'，虛軸為2b'，
∵橢圓的一個短軸端點為B，直線F₁B與雙曲線的一條漸近線平行，
∴${k}_{{F}_{1}B}$=$\frac{a′}{b′}$，即$\frac{c}$=$\frac{a′}{b′}$，
平方可得：$\frac{b{′}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$，由此得到$\frac{a{′}^{2}+b{′}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$即$\frac{{c}^{2}}{a{′}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$，
∴（$\frac{c}{a′}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，
由e₁=$\frac{a}{c}$，e₂=$\frac{c}{a′}$，
∴e₁•e₂=1，
∵e₁、e₂都是正數(shù)，
∴3e₁²+e₂²＞2$\sqrt{3{e}_{1}^{2}•{e}_{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
當且僅當3e₁²=e₂²，即e₂=$\sqrt{3}$e₁，e₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，e₂=$\sqrt{3}$時，等號成立，
∴3e₁²+e₂²的最小值$2\sqrt{3}$，
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線及橢圓的性質(zhì)的綜合運用，考查直線的斜率公式與離心率的關系，基本不等的應用，考查計算能力，屬于中檔題．