Question

13．已知全集U=R，非空集合A={x|$\frac{x-2}{x-3a-1}$＜0}，B={x|$\frac{x-{a}^{2}-2}{x-a}$＜0}．
（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求（∁_UB）∩A；
（Ⅱ）條件p：x∈A，條件q：x∈B，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出集合A、B，再求出C_UB，借助數(shù)軸求出，（C_UB）∩A．
（Ⅱ）由題意知，p⇒q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a²+2}．對(duì)于集合A，其解集的端點(diǎn)是 3a+1和2，大小有三種情況，在每種情況下，求出集合A，借助數(shù)軸列出A⊆B時(shí)區(qū)間端點(diǎn)間的大小關(guān)系，解不等式組求出a的范圍

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，
對(duì)于集合A：$\frac{x-2}{x-\frac{5}{2}}$＜0，即（x-2）（x-$\frac{5}{2}$）＜0，解得2＜x＜$\frac{5}{2}$，所以A=（2，$\frac{5}{2}$），
對(duì)于集合B，$\frac{x-\frac{9}{4}}{x-\frac{1}{2}}$＜0，解得，$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{9}{4}$，所以B=（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$），
所以C_UB=（-∞.$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{9}{4}$，+∞），
所以（C_UB）∩A=[$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$）；
（Ⅱ）由q是p的必要條件，即p⇒q，可知A⊆B．
由a²+2＞a，得 B={x|a＜x＜a²+2}．
①當(dāng)3a+1＞2，即a＞$\frac{1}{3}$時(shí)，A={x|2＜x＜3a+1}，再由$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{{a}^{2}+2≥3a+1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
②當(dāng)3a+1=2，即a=$\frac{1}{3}$時(shí)，A=∅，不符合題意；
③當(dāng)3a+1＜2，即a$＜\frac{1}{3}$時(shí)，A={x|3a+1＜x＜2}，再由$\left\{\begin{array}{l}{a≤3a+1}\\{{a}^{2}+2≥2}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{3}$；
綜上所述a的取值范圍為（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算方法以及A⊆B時(shí)2個(gè)區(qū)間端點(diǎn)之間的大小關(guān)系（借助數(shù)軸列出不等關(guān)系），體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．