Question

（本小題滿分13分）

在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，以為圓心的圓與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若直線：與圓交于，兩點，在圓上是否存在一點，使得，若存在，求出此時直線的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在點，使得.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為，因為直線與圓相切，所以 ，

即可求出圓的方程為 .（Ⅱ）方法一：因為直線：與圓相交于，兩點， 所以 ， 所以或 ，假設(shè)存在點，使得，因為，在圓上，且，同時由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為菱形，所以與互相垂直且平分，所以原點到直線：的距離為 10分

即 ，解得， ，經(jīng)驗證滿足條件，所以存在點，使得 ；

方法二：假設(shè)存在點，使得．記與交于點，因為，在圓上，且，由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，因為直線斜率為，顯然，所以直線方程為，， 解得， 所以點坐標(biāo)為，因為點在圓上，所以，解得，即，經(jīng)驗證滿足條件，所以存在點，使得.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為，因為直線與圓相切，

所以 3分

所以圓的方程為 5分

（Ⅱ）方法一：因為直線：與圓相交于，兩點，

所以 ，

所以或 7分

假設(shè)存在點，使得 8分

因為，在圓上，且，同時

由向量加法的平行四邊形法則可知

四邊形為菱形，所以與互相垂直且平分 9分

所以原點到直線：的距離為 10分

即 ，解得， ，經(jīng)驗證滿足條件 12分

所以存在點，使得 13分

方法二：假設(shè)存在點，使得．記與交于點

因為，在圓上，且，由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，

因為直線斜率為，顯然，所以直線方程為 7分

， 解得， 所以點坐標(biāo)為 9分

因為點在圓上，所以，解得 11分

即，經(jīng)驗證滿足條件 12分

所以存在點，使得 13分.

考點：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系.