Question

設(shè)函數(shù)f（x）滿足：2f（x）-f（

1

x

）=

3

x2

，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題先用解方程組的方法求出函數(shù)的解析式，再通過換元法，將原函數(shù)化成對(duì)鉤函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：∵2f（x）-f（

1

x

）=

3

x2

，①
將“x”用“

1

x

”代入，得：
2f(

1

x

)-f(x)=3x2  ②
將①×2+②得：
f(x)=x2+

2

x2

．
令t=x²，記g(t)=t+

2

t

．
g′(t)=1-

2

t2

=

t2-2

t2

=

(t+ 2 )(t- 2 )

t2

由x∈[

1

2

，1]得：t∈[

1

4

，1]．
∴g′（t）＜0．
則g（t）在[

1

4

，1]上單調(diào)遞減．
[g（t）]_min=g（1）=3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式的求法和導(dǎo)數(shù)求最值，還考查了換元法．要注意的是，如果使用基本不等式求最值，則不能取到等號(hào)，所以求最值要用到導(dǎo)函數(shù)法．本題有一定的思維量和計(jì)算量，屬于中檔題．