Question

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5

2

）的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，則橢圓方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓方程：

x2

b2

+

y2

a2

=1，由已知條件推導(dǎo)出a²-b²=c²=50，y=3x-2代入得（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，韋達(dá)定理得

12b2

a2+9b2

=1，由此能求出橢圓方程．

解答： 解：設(shè)橢圓方程：

x2

b2

+

y2

a2

=1，
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5

2

），
∴a²-b²=c²=50，
y=3x-2代入得：
（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，
∴韋達(dá)定理得：x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

=1，
解得：b²=25，a²=75，
∴橢圓方程是

y2

75

+

x2

25

=1．
故答案為：

y2

75

+

x2

25

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．