Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=1，當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞xf′（x）恒成立，則不等式f（x）＞x的解集是（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=

f(x)

x

，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，可得函數(shù)g（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減，由f（x）＞x，即g（x）＞1，即可解得．當(dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性即可解得．

解答： 解：令g（x）=

f(x)

x

，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，
∴函數(shù)g（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減，
由f（x）＞x，可得

f(x)

x

＞1=

f(1)

1

，
∴0＜x＜1．
當(dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，由f（x）＞x，解得x＜-1．
綜上可得：不等式f（x）＞x的解集是（-∞，-1）∪（0，1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．