Question

已知四棱錐P-ABCD底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且AD與BC平行，AD=2AB=2BC=2，△PAD是以P為直角頂點的等腰直角三角形，且二面角P-AD-C為直二面角．
（1）求證：PD⊥平面PAB；
（2）求AD與平面PCD所成角大�。�

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥平面PAD，從而AB⊥PD，又PD⊥PA，由此能證明PD⊥平面PAB．
（2）延長DC與AB交于點M，由已知條件推導出∠ADN就為AD與平面PCD所成的角，由此能求出AD與平面PCD所成角．

解答： （1）證明：由AB⊥AD，且P-AD-C為直二面角，
所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以AB⊥PD，而PD⊥PA，
因此PD與平面PAB內(nèi)的兩條相交直線垂直，
從而PD⊥平面PAB．
（2）解：延長DC與AB交于點M，
則由題意知，B，C分別為AM與DM的中點，
且平面PCD∩平面PAB=PM，
由（1）知PD⊥平面PAB，且PD?平面PDM，
所以平面PDM⊥平面PAB，過A作PM的垂線AN，則AN⊥平面PMD，
從而∠ADN就為AD與平面PCD所成的角，
由（1）知PAM為直角三角形，
從而由PA=

2

，AM=2得PM=

6

，
所以在直角三角形PAM中，AN=

2

3

3

，
于是在直角三角形AND中，tan∠ADN=

2 3 3

2

=

3

3

，所以∠ADN=30°，
即AD與平面PCD所成角為30°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．