Question

如圖所示，凸多面體ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F為BC的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCE；
（ III）求三棱錐F-ADB的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取BE的中點G，利用GF為三角形BCE的中位線，證明四邊形GFAD為平行四邊形，從而證明AF∥平面BDE．
（Ⅱ）先證AF⊥平面BCE，由AF∥GD可得GD⊥平面BCE，進而證明平面BDE⊥平面BCE．
（Ⅲ）由AB²+AC²=BC²，得AF=

1

2

BC=

2

2

，由AD⊥平面ABC，四邊形GFAD為平行四邊形，得四邊形GFAD為矩形，由AD⊥平面ABC，AF⊥平面BCE，得BF⊥平面GFAD，由V_F-ADB=

1

2

V_B-ADGF，利用等積法能求出三棱錐F-ADB的體積．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：取BE的中點G，連接GF，GD，
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴AD∥EC，且平面ABC⊥平面ACED，
∵GF為△BCE的中位線，
∴GF∥EC∥DA，GF=

1

2

CE=DA，
∴四邊形GFAD為平行四邊形，
∴AF∥GD，又GD?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）證明：∵AB=AC，F為BC的中點，∴AF⊥BC，
又CE⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴AF⊥EC，
又BC∩EC=C，∴AF⊥平面BCE，
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，
又GD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．（8分）
（Ⅲ）解：∵AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F為BC的中點，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AF=

1

2

BC=

2

2

，
∵AD⊥平面ABC，四邊形GFAD為平行四邊形，
∴四邊形GFAD為矩形，
∴S_矩形GFAD=AF×AD=

2

2

×1=

2

2

，
∵AD⊥平面ABC，AF⊥平面BCE，∴BF⊥平面GFAD，
連結DF，三棱錐F-ADB的體積：
V_F-ADB=

1

2

V_B-ADGF=

1

6

×S矩形GFAD×BF=

1

6

×

2

2

×

2

2

=

1

12

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．