Question

2．如果以原點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)．并且被直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（c為雙曲線的半焦距）分為弧長(zhǎng)為2：1的兩段，則該雙曲線離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的弧長(zhǎng)關(guān)系，得到∠AOB=120°，求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)值建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵圓直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（c為雙曲線的半焦距）分為弧長(zhǎng)為2：1的兩段，
∴∠AOB=120°，則∠AOx=60°，
∵以原點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，
∴圓的方程為x²+y²=c²，
當(dāng)x=$\frac{{a}^{2}}{c}$時(shí)，（$\frac{{a}^{2}}{c}$）²+y²=c²，
得y=±$\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{c}$，
不妨設(shè)A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{c}$），
則tan∠AOx=$\frac{\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{c}}{\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
平方得b²（a²+c²）=3a⁴，
即（c²-a²）（a²+c²）=3a⁴，
即c⁴-a⁴=3a⁴，
則c⁴=4a⁴，
則c²=2a²，
即c=$\sqrt{2}$a，
則e=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出A的坐標(biāo)，建立三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．