Question

12．如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為36，點E，F(xiàn)分別為棱B₁B，C₁C上的點（異于端點），且EF∥BC，則四棱錐A₁-AEFD的體積為12．

Answer 1

分析 過A₁作A₁M⊥AE于M，則A₁M⊥平面AEFD，設(shè)∠BAE=θ，則AE=$\frac{AB}{cosθ}$，A₁M=AA₁cosθ，于是四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$AE•AD•A₁M．根據(jù)AB•AD•AA₁=36得出棱錐的體積．

解答 解：過A₁作A₁M⊥AE于M，
∵AD⊥平面AA₁B₁B，A₁M?平面AA₁B₁B，
∴AD⊥A₁M，又AD?平面AEFD，AE?平面AEFD，AD∩AE=A，
∴A₁M⊥平面AEFD．
設(shè)∠BAE=θ，則∠AA₁M=θ，
∴AE=$\frac{AB}{cosθ}$，A₁M=AA₁cosθ，
∴V${\;}_{{A}_{1}-AEFD}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形AEFD}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\frac{AB}{cosθ}×AD×A{A}_{1}cosθ$=$\frac{1}{3}$AB•AD•AA₁．
∵四棱柱的體積V=AB•AD•AA₁=36，
∴V${\;}_{{A}_{1}-AEFD}$=$\frac{1}{3}×36=12$．
故答案為：12．

點評 本題考查了棱錐，棱柱的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．